Problemas de programación lineal

1) Un campesino tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados en la tabla. ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?. ¿Cuál es ésta utilidad máxima?






R. Utilidad máxima=400(320)+300(160)=$170.600.
2) Un nutricionista asesora a un individuo que sufre una deficiencia de hierro y vitamina B, y le indica que debe ingerir al menos 2400 mg de hierro, 2100mg vitamina B-1 (tiamina) y 1500 mg de vitamina B-2 (riboflavina) , durante cierto período de tiempo. Existen dos píldoras de vitaminas disponibles, la marca A y la marca B. Cada píldora de la marca A contiene 40 mg de hierro, 10 mg de vitamina B-1, 5 mg de vitamina B-2 y cuesta 6 centavos. Cada píldora de la marca B contiene 10 mg de hierro, 15 mg de vitamina B-1 y de vitamina B-2, y cuesta 8 centavos (tabla 2).














¿Cuáles combinaciones de píldoras debe comprar el paciente para cubrir sus requerimientos de hierro y vitamina al menor costo?

R: El paciente debe adquirir 30 píldoras de la marca A y 120 de la marca B, con un costo mínimo de $11,40

3) Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

R: La solución que da el interés máximo es. Tipo A: 130.000 euros. Tipo B: 80.000 euros

4) . Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 buses para 40 pasajeros y 10 buses para 50 pasajeros, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un bus grande cuesta $80.000 euros y el de uno pequeño, $60.000. Calcular cuántos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela.
R: La solución óptima es 5 chicos y 4 grandes

5) Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de $3.000.000 en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina para que el coste sea mínimo?.
R. C(40, 20)= 30.00.000* 40+3.000.000*20= $180.000.000 costo mínimo

6) Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este?
R. 3750 electricistas y $1250 mecánicos


7) Se considera la región del plano determinada por las inecuaciones: x + 3>= y ; 8 >=x + y ; y>= x - 3 ; x >=0; y>= 0
a) Dibujar la región del plano que definen, y calcular sus vértices.
b) Hallar el punto de esa región en el que la función F(x, y) = 6x + 4y alcanza el valor máximo y calcular dicho valor.
R: Las coordenadas de los vértices son: A(3,0) ; B(5.5, 2.5) ; C(2.5, 5.5) ;D(0,3) y O(0,0)
Luego la función alcanza su máximo en el vértice B y su valor es 43
8) Dos pinturas A y B tienen ambas dos tipos de pigmentos p y q; A está compuesto de un 30% de p y un 40% de q, B está compuesto de un 50% de p y un 20% de q, siendo el resto incoloro. Se mezclan A y B con las siguientes restricciones:
La cantidad de A es mayor que la de B. Su diferencia no es menor que 10 gramos y no supera los 30 gramos. B no puede superar los 30 gramos ni ser inferior a 10 gramos.
a. ¿Qué mezcla contiene la mayor cantidad del pigmento p?
b. ¿Qué mezcla hace q mínimo?
R: a) La mayor cantidad de pigmento p, se produce para 60 gramos de la pintura A y 30 de la B:
Fp (40,30) = 0.3•40 + 0.5•30 = 27 ; Fp (20,10) = 11 ; Fp (40, 10) = 17; Fp (60, 30) = 33
b) La menor cantidad de pigmento q, se produce para 20 gramos de la pintura A y 10 de la B:
Fq (40, 30) = 0.4•40 + 0.2•30 = 22; Fq (20, 10) = 10 ; Fq (40, 10) = 18 ; Fq (60, 30) = 30


Puedes ver estos y otros problemas en:

Programación lineal
Ejercicios resueltos
Programación Lineal-Teo Coronado

Una página interesante en donde puede resolver un problema de programación lineal, ingresando la funcion objetivo a optimizar y las restricciones. Veanlo es muy bueno.

Resolver problema y ver procedimiento

Trabajo grupal

Trabajo: “Presentación en PowerPoint”

Los grupos deben tener a lo más 4 integrantes
La fecha de entrega es el día viernes 24 de octubre de 2008

Tema la elipse:
· Definir este lugar geométrico
· Mostrar alguna aplicación en las ciencias y el arte
· Encontrar analíticamente la ecuación de la elipse en su forma general y canónica
· Mostrar sus elementos y definirlos
· Muestre alguna aplicación con el programa Geogebra

Crear una guía con 20 ejercicios que se diferencien uno de otro en la forma de resolverlos, de tal manera que muestren distintos aspectos de la elipse. Debe estar la respuesta de cada ejercicio. Esta debe ser escrita en Word, con letra Arial, tamaño 12
Sea creativo, no copie. Intente hacer una presentación atractiva.
Debe demostrar que entiende lo que expone en PowerPoint
Para ver los ejemplos debes tener instalado geogebra

Un ejemplo de la hipérbola con geogebra

Un ejemplo de la elipse

Guía. La circunferencia

1. Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3.

2. Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (-2, 3).

3. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta x - 2y + 3 = 0

4. ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (3, 2), (2, 4) y (-1, 1)?

5. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (2,-3) y es tangente al eje de abscisas.

6. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en (-1, 4) y es tangente al eje de ordenadas.

7. Calcula la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el punto de intersección de la rectas x + 3y + 3 = 0, x + y + 1 = 0, y su radio es igual a 5.

8. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica con la ecuación , y que pasa por el punto (-3,4).

9. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices: A(0,0), B(3,1), C(5,7).

10. Los extremos del diámetro de una circunferencia son los puntos A(-5,3) y B(3,1). ¿Cuál es la ecuación de esta circunferencia?

11. Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica a la circunferencia que sea tangente a la recta 3x - 4y + 7 = 0.

12. Estudiar la posición relativa de la circunferencia x2 + y2 - 4x + 2y - 20 = 0 con las rectas:
A: x + 7y -20 = 0 B: 3x + 4y - 27 = 0 C: x + y - 10 =0

13. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene el centro en el punto C(3,1) y es tangente a la recta: -3x + 4y - 5 = 0.

14. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(-2,3) y tiene su centro sobre la recta: x + y + 4 = 0.
15. Calcula la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (0,-3), cuyo radio es y cuyo centro se halla en la bisectriz del primer y tercer cuadrantes.

16. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0, 6), B(4, -2) y C(9, 3). Encuentre las coordenadas del centro y el radio.
17. La ecuación: representa una circunferencia. Determine su centro C(h, k) y su radio r.

18. Determine la ecuación de la circunferencia uno de cuyos diámetros es el segmento de extremos y .

19. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y tiene su centro en el punto común a las rectas: y .

20. Encuentre la ecuación de la circunferencia de centro en C(-3, 2) y radio 6.

21. Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos A(0,0), B(0,5) y C(3,2).

22. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (1,5), sabiendo que pasa por el punto (-3,2)

23. Hallar la ecuación de la circunferencia, cuyo diámetro es el segmento de extremos A(2,3) y B(-4,9).

24. Hallar el Centro y el Radio de la circunferencia

25. Hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por el (0,0), de radio 4 y cuyo centro está en la bisectriz del primer cuadrante

26. Hallar la ecuación de una circunferencia que pasa por los puntos A(2,1) y B(3,-3) , y su centro se encuentra sobre la recta s: x + y – 5 = 0

27. Hallar el centro y el radio de la circunferencia

28. Hallar el centro y el radio de la circunferencia
29. Comprueba si la recta r: 4x – 3y + 6 = 0 es tangente a la circunferencia
30. Hallar la ecuación de una circunferencia de centro (1,4) y tangente a la recta r: 3x + 4y – 4 = 0

31. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en c(13,-6)que es tangente a al recta : 3x-4y-13=0


32. Hallar las coordenadas de D, sabiendo que la circunferencia tiene ecuación: x2 + y2 – 25 = 0; B(-3,4) y C(4,3). 33. Sea x2 + y2 -4x + 6y -12 = 0; A(0,3); B(1,0). Deducir si los puntos son interiores o exteriores

34. Hallar las ecuación de las circunferencias que son tangentes a las rectas concurrentes 7x – y – 5 = 0 y x + y + 13 = 0; y a una de ellas en el punto M(1,2)

35. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene por centro el punto de intersección de las rectas x - 5y + 2 = 0; 2x + 3y - 9 = 0 y es tangente a la recta 4x + 3y - 5 = 0.

36. Dadas las circunferencias x2 + y2 - 16 = 0 y 2x2 + 2y2 - 3x - 8y - 10 = 0 encontrar la ecuación de su eje radical y las coordenadas de un punto que, teniendo igual potencia respecto de las dos circunferencias, equidiste de los ejes de coordenadas.

37. En la circunferencia x2 + y2 - 6x + 6y - 50 = 0 se ha trazado una cuerda paralela al eje OY a una distancia de 5 unidades de dicho eje. Halla la longitud de la cuerda.

38. Dadas las circunferencias x2 + y2 - 6x + 8y = 0 y x2 + y2 + 2x - 12y + 1 = 0. Escribe la ecuación de su línea de centros (es decir, de la recta que pasa por los centros de estas circunferencias). [5x + 2y - 7 = 0]

39. Hallar la distancia entre los centros de las circunferencias x2 + y2 = 16 y x2 + y2 - 12x + 11 = 0. [d = 6]

40. Escribe la ecuación del diámetro de la circunferencia x2 + y2 + 6x + 8y = 0, paralelo al eje OY. [x + 3 = 0]

41. Dada la circunferencia x2 + y2 - 8x - 4y - 5 = 0. Escribir la ecuación del diámetro que forma un ángulo de 45º con el eje OX. [x - y - 2 = 0]


42. Dada la circunferencia x2 + y2 - 2x + 6y - 6 = 0. Escribir la ecuación del diámetro perpendicular a la cuerda 2x - y + 3 = 0. [x + 2y + 5 = 0]

43. Hallar las coordenadas de los puntos en que la circunferencia
x2 + y2 - 6x + 8y + 5 = 0 corta al eje OX. [(5, 0) y (1, 0)]

44. Escribe la ecuación del radio trazado al punto A (1, 4) de la circunferencia x2 + y2 - 4y - 1 = 0. [2x - y + 2 = 0]

45. Hallar los puntos de intersección de la recta x = 3 y la circunferencia x2 + y2 + 3x - 6y - 9 = 0. [(3, 3)]

46. Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos A (2, 1) y B (-2, 3) y tiene su centro sobre la recta x + y + 4 = 0. [x2 + y2 + 4x + 4y - 17 = 0]

47. Hallar la potencia del origen respecto de la circunferencia de centro el punto (-4, 2) y que es tangente a la recta 3x + 4y - 16 = 0. [(x + 4)2 + (y - 2)2 = 0 ó x2 + y2 + 8x - 4y + 4 = 0. Pot (0, 0) = 4]

48. Calcula m para que el radio de la circunferencia x2 + y2 + mx + 2y + 9 = 0 sea 1.[m = ± 6]

49. Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos A (1, 2) y B (3, 4) y tiene su centro sobre la recta 2x - y + 5 = 0. [x2 + y2 - 10y + 15 = 0]

50. Dada la cónica x2 + y2 - 6x - 8y = 0 di de que cónica se trata y citar sus principales elementos. [Circunferencia, C (3, 4), r = 5]

51. Calcula la longitud del segmento de tangente comprendido entre el punto P (2, -1) y la circunferencia x2 + y2 + 3x - 2y - 4 = 0. [d = 3]

52. Hallar el centro radical de las circunferencias de ecuaciones: x2 + y2 + 2x - 4y = 0; x2 + y2 - 2x = 0; x2 + y2 + 2x - 6y - 16 = 0. [C (-8, -8)]

53. Escribe las ecuaciones de los diámetros de la circunferencia x2 + y2 + 8x + 4y - 16 = 0 perpendiculares a los ejes de coordenadas. [x = -4; y = -2]

54. Hallar la ecuación general de la circunferencia de centro C (2, 3) y que es tangente a la recta r: ½x + y - 3 = 0. [x2 + y2 - 4x - 6y + 61/5 = 0]

55. Hallar la ecuación de la circunferencia C que pasa por los puntos de intersección de las ecuaciones C1: x2 + y2 + 12x + 11 = 0 y C2: x2 + y2 - 4x - 21 = 0 y tiene su centro en la bisectriz del primer cuadrante. Halla también el centro radical de las tres circunferencias y el área del círculo que encierra C1.

56. Hallar la ecuación de la circunferencia que es tangente en el origen de coordenadas a la recta x - y = 0 y que pasa por el punto A (-4, 4). Halla también la potencia del punto P (2, 8) respecto de la circunferencia. [(x + 2)2 + (y - 2)2 = 8]